Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=﹣x2+2x+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸與拋物線交于點(diǎn)D．與x軸交于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)G為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，沿直線DE以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊）．

設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動時間為ts．

①當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)M，N，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

②連接BM，在點(diǎn)G運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)M．使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以線段MN為對角線作萎形MENQ，當(dāng)菱形MENQ為正方形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；D（2，8）；（2）①見解析；②存在,理由見解析;

（3）t=．

【解析】分析：（1）令y=0，解方程﹣x2+2x+6=0，即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，把y=﹣x2+2x+6改寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①要使四邊形MEBN為平行四邊形，則MN=BE=4，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出DG的長，由DG=2t可求出t的值；②設(shè)BM交DE于P，如圖，設(shè)P（2，m），在Rt△BEP中，根據(jù)PE2+BE2=PB2，列方程求出m的值，用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）由正方形的性質(zhì)得GN=GE=8﹣2t，從而表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出t的值.

詳解：（1）當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+6=0，解得x1=﹣2，x2=6，則A（﹣2，0），B（6，0）；

∵y=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）①∵E（2，0），B（6，0），

∴BE=4，

∵四邊形MEBN為平行四邊形，

∴MN=BE=4，

∵MN∥x軸，

∴MG=NG=2，

∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，此時M（0，6）

∴2t=8﹣6，解得t=1，

∴當(dāng)t為1s時，以點(diǎn)M，N，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

②存在．

設(shè)BM交DE于P，如圖，設(shè)P（2，m）

∵∠MBD=∠EDB，

∴PD=PB=8﹣m，

在Rt△BEP中，∵PE2+BE2=PB2，

∴m2+42=（8﹣m）2，解得m=5，

∴P（2，3），

設(shè)直線BP的解析式為y=px+q，

把B（6，0），P（2，3）代入得，解得，

∴直線BP的解析式為y=﹣x+，

解方程組得或，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）；

（3）GE=8﹣2t，

∵菱形MENQ為正方形時，

∴GN=GE=8﹣2t，

∴N（10﹣2t，8﹣2t），

把N（10﹣2t，8﹣2t）代入y=﹣x2+2x+6得﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=8﹣2t，

整理得t2﹣9t+16，

∴t=．