Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)段AD-DE-EB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，求t的值；
（2）設(shè)△BPQ的面積為S，求出Q在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在t值，使PQ∥DB？若存在，求出t值，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC===10，
又由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)所用時(shí)間t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值為4秒．

（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上（不包含D點(diǎn)），由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面積S=BQ•AP=（6-2t）•3t=-3t²+9t，
所以Q在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-3t²+9t．
②如圖當(dāng)點(diǎn)P在DE（包括點(diǎn)D、E）上，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，
則PF=AD=4，
則△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•4=12-4t，
所以此時(shí)Q在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=12-4t．
③當(dāng)點(diǎn)P在BE上（不包括E點(diǎn)），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴PF=，
∴△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•=-t+，
所以此時(shí)Q在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-t+．

（3）若PQ∥DB，則點(diǎn)P、Q必在DB同側(cè)．
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)P在AD上時(shí)，
∵AP：AQ=3t：2t=3：2，而AD：AB=4：6=2：3，
∴AP：AQ≠AD：AB，
則PQ不平行DB．
②因點(diǎn)Q沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)Q在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P在CB上時(shí)，
即當(dāng)3＜t＜4 時(shí)，PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，設(shè)直線(xiàn)PQ交DC與N，
∵DC∥AB，
∴△PCN∽△PBQ，
∴CN：BQ=PC：PB，
則CN=；
又∵NQ∥DB，
∴CN：CD=CP：CB，
則CN=，
所以=，
解得t=（符合題意）．
綜上情景①、②所述，當(dāng)t=時(shí)，PQ∥DB．
分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，求出AD、DE、BE，從而求出t；（2）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過(guò)面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）通過(guò)假設(shè)，通過(guò)兩種情況討論即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、三角形中位線(xiàn)定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)勾股定理三角形中位線(xiàn)定理求解，以及通過(guò)假設(shè)推出錯(cuò)誤結(jié)論論證．