Question

對于關于x的二次函數y=ax²-（2a-1）x-1（a≠0），下列說法正確的有（　�。�
①無論a取何值，此二次函數圖象與x軸必有兩個交點；  ②無論a取何值，圖象必過兩定點，且兩定點之間的距離為

2

；
③當a＞0時，函數在x＜1時，y隨x的增大而減小；      ④當a＜0時，函數圖象截x軸所得的線段長度必大于2．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①令y=0，即ax²-（2a-1）x-1=0，求出△，判斷圖象與x軸的交點個數，②把二次函數關系式y(tǒng)=ax²-（2a-1）x-1，可以判斷兩個定點，③求出對稱軸，然后結合a的取值范圍判斷，④設函數圖象與x軸的兩交點為x₁，x₂，求出|x₁-x₂|進行判斷．

解答：解：①令y=0，即ax²-（2a-1）x-1=0，△=4a²+1＞0，即二次函數圖象與x軸必有兩個交點；故本選項正確，
②y=ax²-（2a-1）x-1=a（x-1）²+（x-1）-a，當x=2時，y=1，當x=0時，y=-1，圖象必過兩定點（2，1），（0，-1），兩點之間的距離為2

2

，故本選項錯誤，
③二次函數y=ax²-（2a-1）x-1（a≠0）的對稱軸為x=2-

1

a

，當a＞0時不能判斷y隨x的增大而減小，故本選項錯誤；
④設函數圖象與x軸的兩交點為x₁，x₂，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4+ 1 a2

＞2，故函數圖象截x軸所得的線段長度必大于2，故本選項正確，
故正確的有①④，
故選B．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，要熟悉拋物線的對稱性及拋物線與x軸的交點坐標．