Question

已知：x_n，

x

′ n

是關(guān)于x的方程a_nx²-4a_nx+4a_n-n=0（a_n＞a_n+1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，xn＜

x

′ n

，其中n為正整數(shù)，且a₁=1．
（1）

x

′ 1

-x1的值為

 

；
（2）當(dāng)n分別取1，2，…，2013時(shí)，相對(duì)應(yīng)的有2013個(gè)方程，將這些方程的所有實(shí)數(shù)根按照從小到大的順序排列，相鄰兩數(shù)的差恒為（

x

′ 1

-x1）的值，則

x

′ 2013

-x2012=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,解一元二次方程-公式法,解一元二次方程-因式分解法

專題：規(guī)律型

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，將a₁=1代入方程即可求出x₁′-x₁的值；
（2）表示出方程的根，根據(jù)a_n＞a_n-1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，當(dāng)n=1，2，3，…，以及2012，2013，得到4026個(gè)公差為2的等差數(shù)列，求出所求式子即可．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，將a₁=1代入方程得：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x′₁=3，
則x′₁-x₁=2；
故答案為：2；
（2）由求根公式得：x=2±

n an

，
據(jù)a_n＞a_n-1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，
當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1，x′₁=3；
當(dāng)n=2時(shí)，x₂＜x₁，x′₂＞x′₁，
當(dāng)n=3時(shí)，x₃＜x₂，x′₃＞x′₂，
依此類推，
當(dāng)n=2012時(shí)，x₂₀₁₂＜x₂₀₁₁，x′₂₀₁₂＞x′₂₀₁₁，
當(dāng)n=2013時(shí)，x₂₀₁₃＜x₂₀₁₂，x′₂₀₁₃＞x′₂₀₁₂，
∴根由小到大排列為：x₂₀₁₃，x₂₀₁₂，…，x₁，x′₁，…，x′₂₀₁₃，共4026項(xiàng)，
∵等差且d=2，
∴x′₂₀₁₃=x₂₀₁₂+（4026-2）×2=8048．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找出題中根的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．