Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線(xiàn)y＝x²＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線(xiàn)x＝上．

(1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在(2)、(3)的條件下，若點(diǎn)M是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)拋物線(xiàn)y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，4)，以及頂點(diǎn)在直線(xiàn)x＝上，得出b，c即可； 　　(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)，利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x＝5或2時(shí)，y的值即可． 　　(3)首先設(shè)直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，求出解析式，當(dāng)x＝時(shí)，求出y即可； 　　(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出，得到ON＝，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可． 　　解答：解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，4) 　　∴c＝4， 　　∵頂點(diǎn)在直線(xiàn)x＝上， 　　∴； 　　∴所求函數(shù)關(guān)系式為； 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， 　　∴AB＝， 　　∵四邊形ABCD是菱形， 　　∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)， 　　當(dāng)x＝5時(shí)，y＝， 　　當(dāng)x＝2時(shí)，y＝， 　　∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線(xiàn)上； 　　(3)設(shè)CD與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)， 　　設(shè)直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b， 　　則， 　　解得：， 　　∴， 　　當(dāng)x＝時(shí)，y＝， 　　∴P()， 　　(4)∵MN∥BD， 　　∴△OMN∽△OBD， 　　∴即得ON＝， 　　設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x于點(diǎn)F， 　　則(PF＋OM)·OF＝(＋t)×， 　　∵， 　　()×＝， 　　S＝(－)， 　�。剑�(0＜t＜4)， 　　S存在最大值． 　　由S＝－(t－)2＋， 　　∴當(dāng)S＝時(shí)，S取最大值是， 　　此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)． 　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及菱形性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數(shù)的最值求出是解題關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．