Question

如圖，△ABC內接于⊙O，點I是△ABC的內心，AI交⊙O于D點，交BC于點E，連接BD、BI；
（1）求證：DB=DI；
（2）連接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵點I是△ABC的內心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）證明：延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
=，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴BC=5．
分析：（1）要證明ID=BD，利用內心的定義可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所對的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個外角的和，即可證得∠BID=∠IBD，利用等邊對等角即可證得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，證得：Rt△BDE≌Rt△AIG，則AG=BE=BC，根據(jù)直角三角形的內心的性質可得：AG=（AB+AC-BC），再根據(jù)AB+AC=10即可求解．
點評：考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質，直角三角形的內心的性質，正確證明Rt△BDE≌Rt△AIG是關鍵．