Question

已知：a+

1

a

=2，求an+

1

an

（n為自然數(shù)）的值．下面是小明和小亮的討論：
（1）小明發(fā)現(xiàn)：取n=0時(shí)，原式=1+1=2；
（2）小亮發(fā)現(xiàn)：
∵a+

1

a

=2
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4
∴a2+

1

a2

=2，
請(qǐng)你參考他們的提示，完成解答．

Answer 1

分析：分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況討論即可求出an+

1

an

（n為自然數(shù)）的值．

解答：解：取n=0時(shí)，原式=1+1=2；
取n=1時(shí)，a+

1

a

=2；
取n=2時(shí)，∵a+

1

a

=2，
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4，
∴a2+

1

a2

=2；
取n=2時(shí)，a³+

1

a3

=（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）=2；
…
故an+

1

an

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個(gè)變形公式對(duì)解題大有幫助，注意括號(hào)內(nèi)兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．