Question

18．在平面直角坐標系中，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）兩點．
（1）這個二次函數(shù)的對稱軸是直線x=2；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AD、DE和DB，當(dāng)△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得答案；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標，可得交點式解析式，根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A（1，0）、B（3，0）關(guān)于對稱軸對稱，得
對稱軸為直線：x=2，
故答案為：x=2；
（2）∵A（1，0）、B（3，0），
∴設(shè)這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=a（x-1）（x-3）
當(dāng)x=0時，y=3a，當(dāng)x=2時，y=-a
∴C（0，3a），D（2，-a），∴OC=|3a|．
∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1，EB=1，DE=|-a|=|a|．
在△AOC與△DEB中，∵∠AOC=∠DEB=90°，
∴當(dāng)$\frac{AO}{DE}$=$\frac{OC}{EB}$時，△AOC∽△DEB．∴$\frac{1}{|3a|}$=$\frac{|a|}{1}$時，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)$\frac{AO}{EB}$=$\frac{OC}{DE}$時，△AOC∽△BED，∴$\frac{1}{|3a|}$=$\frac{1}{|a|}$時，此方程無解，
綜上所述，所求二次函數(shù)的表達式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）（x-3）或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）（x-3），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱得出得出對稱軸，利用相似三角形的判定得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．