Question

已知點(diǎn)D是等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn)，以AD為邊向右作等邊△ADF，DF、AC交于點(diǎn)N．
（1）如圖①，當(dāng)AD⊥BC時，請說明DF⊥AC的理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動時，以AD為邊再向左作等邊△ADE，DE、AB交于M，試問線段AM和AN有什么數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若等邊△ABC的邊長為2，直接寫出DM+DN的最小值．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=

1

2

×60°=30°，
又∵△ADF是等邊三角形，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAN=∠FAN=30°，
∴AN⊥DF，


即DF⊥AC；

（2）AM=AN．
理由如下：如圖，連接AD，
∵△ADE、△ADF是等邊三角形，
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF，
∵∠DAM+∠CAD=60°，
∠FAN+∠CAD=60°，
∴∠DAM=∠FAN，
在△ADM和△AFN中，

∠DAM=∠FAN AD=AF ∠ADE=∠ADF

，
∴△ADM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（3）根據(jù)垂線段最短，DM⊥AB、DN⊥AC時，DM、DN最短，
設(shè)等邊△ABC的高線為h，
則S_△ABC=

1

2

AC?h=

1

2

AB?DM+

1

2

AC?DN，
∵AB=AC，
∴DM+DN=h，
∵等邊△ABC的邊長為2，
∴h=2×

3

2

=

3

，
∴DM+DN的最小值為

3

．