Question

9．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP交于點P，連接AP，CP，若∠APC=65°，則∠ABC=50°．

Answer 1

分析 延長BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，如圖，根據(jù)角平分線定理得到PN=PF，PN=PM，則PM=PF，再根據(jù)角平分線定理的逆定理得到AP平分∠CAF，即∠PAC=∠PAF，在△PAC中，利用三角形內角和定理得∠PAC+∠PCA=115°，則∠FAC+∠ACD=2（∠PAC+∠PCA）=230°，接著利用三角形外角性質得∠FAC=∠ABC+∠ACB，所以∠ABC+∠ACB+∠ACD=230°，易得∠ABC=50°．

解答 解：延長BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，如圖，
∵PB平分∠ABC，
∴PN=PF，
∵PC平分∠ACD，
∴PN=PM，∠PCA=∠PCD，
∴PM=PF，
∴AP平分∠CAF，
∴∠PAC=∠PAF，
在△PAC中，∵∠PAC+∠PCA+∠APC=180°，
∴∠PAC+∠PCA=180°-65°=115°，
∴∠FAC+∠ACD=2（∠PAC+∠PCA）=230°，
∵∠FAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD=230°，
而∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ABC=230°-180°=50°．
故答案為50°．

點評 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了角平分線定理和逆定理．證明PA為∠BAC的外角平分線是解題的關鍵．