Question

3．已知：小明在∠AOB的兩邊上分別取點M，N，使得OM=ON，并把兩個完全一樣的含有30°的直角三角板按如圖所示的位置進行放置，兩個直角三角板的斜邊交于點P．小明說：“射線OP是∠AOB的平分線”．
請問：小明的說法正確嗎？若正確，請給出證明，若不正確，請說明理由．

Answer 1

分析 過O點作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出△OMC≌△OND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC=OD，∠COM=∠DON，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠CPO=∠DPO．根據(jù)三角形外角的行中性質(zhì)求出即可．

解答 解：正確；
過O點作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴∠C=∠D=90°，
由題意，∠PMA=∠PNB=60°，
∴∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°．
∴∠OMC=∠OND．
在△OMC和△OND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠DNO}\\{∠OCM=∠ODN=90°}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△OND（AAS），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∵OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，
∴點O在∠CPD的平分線上，
∴∠CPO=∠DPO，
∴∠COP=∠DOP，
∴∠MOP=∠NOP，
即：射線OP是∠AOB的平分線．

點評 本題考查了角平分線的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，關鍵是正確作出輔助線，掌握全等三角形的判定方法．