Question

如圖，△ABC是等邊三角形，線段AD為BC邊上的中線，動點P在直線AD上運動時以PC為一邊且在PC的下方做等邊△PCE，連接BE．
（1）求∠CAD的值；
（2）當點P在線段AD上（點P不與點A重合）時，求證：AP=BE；
（3）當點P運動的過程中（點P不與點A重合），若點C關于直線BE的對稱點是Q點，求證：CQ=AC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)代表性三角形得出AC=AB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，求出∠ACP=∠ECB，證出△ACP≌△BCE即可．
（3）連接BQ，根據(jù)軸對稱求出BC=BQ，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠CBQ=60°，得出等邊三角形CBQ，推出BC=CQ即可．

解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵線段AD為BC邊上的中線，
∴∠CAD=

1

2

∠CAB=

1

2

×60°=30°．

（2）證明：∵△ABC和△PCE是等邊三角形，
∴AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB，
∴∠ACP=∠ECB，
在△ACP和△BCE中

AC=BC ∠ACP=∠BCE CP=CE

∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE．

（3）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵△ACP≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
連接BQ，延長BE交CQ于M，
∵C、Q關于直線BE對稱，
∴BM⊥CQ，CM=QM，
∴BC=BQ，
∴∠CBE=∠QBE=30°，
即∠CBQ=60°，
∵BC=BQ，
∴△CBQ是等邊三角形，
∴CQ=BC，
∴CQ=AC．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱，等邊三角形性質(zhì)的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．