Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，平行四邊形OABC的邊OA在x軸上，∠B=60°，OA=6，OC=4，D是BC的中點，延長AD交OC的延長線于點E。
（1）畫出△ECD關(guān)于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E₁CD，并求出點E₁的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過C、E₁、B三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）請?zhí)角蠼?jīng)過C、E₁、B三點的拋物線上是否存在點P，使以點P、B、C為頂點的三角形與△ECD相似？若存在這樣的點P，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在這樣的點P，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點E作EE1⊥CD交BC于F點，交x軸于E1點，則E1點為E的對稱點， 連接DE1、CE1，則△CE1D為所畫的三角形， ∵△CED∽△OEA，， ∴， ∵EF、EE分別是△CED、△OEA的對應(yīng)高， ∴=， ∴EF=EE1， ∴F是EE1的中點， ∴E點關(guān)于CD的對稱點是E1點，△CE1D為△CED關(guān)于CD的對稱圖形， 在Rt△EOE1，OE1=cos60°×EO=×8=4， ∴E1點的坐標(biāo)為（4，0）； （2）∵平行四邊形OABC的高為h=sin60°×4=2， 過C作CG⊥OA于G，則OG=2， ∴C、B點的坐標(biāo)分別為（2，2），（8，2）， ∵拋物線過C、B兩點，且CB∥x軸，C、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱， ∴拋物線的對稱軸方程為x=5， 又∵拋物線經(jīng)過E1（4，0）， 則拋物線與x軸的另一個交點為A（6，0）， ∴可設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）（x﹣6）， ∵點C（2，2）在拋物線上， ∴2=a（2﹣4）（2﹣6）， 解得a=， ∴y=（x﹣4）（x﹣6）=x2﹣x+6； （3）根據(jù)兩個三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°， 若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個角為60°，下面進(jìn)行分類討論： ①當(dāng)P點直線CB的上方時，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°， ∴△PCB為鈍角三角形， 又∵△ECD為銳角三角形， ∴△ECD與△CPB不相似， 從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點P使△CPB與△ECD相似； ②當(dāng)P點在直線CB上時，點P與C點或B點重合，不能構(gòu)成三角形， ∴在直線CB上不存在滿足條件的P點； ③當(dāng)P點在直線CB的下方時，若∠BCP=60°，則P點與E1點重合，此時，∠ECD=∠BCE1， 而，∴， ∴△BCE與△ECD不相似， 若∠CBP=60°，則P點與A點重合，根據(jù)拋物線的對稱性，同理可證△BCA與△CED不相似， 若∠CPB=60°，假設(shè)拋物線上存在點P使△CPB與△ECD相似， ∴EF=sin60°×4=2，F(xiàn)D=1， ∴ED==， 設(shè)△ECD的邊DE上的高為h1，則有h1×ED=EF×CD， ∴h1=EF×CD×ED=2×3÷=6×=， 設(shè)△CPB的邊BC上的高為h2，△CPB與△ECD相似， ∵， 解得h2=×h1=×=， ∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，﹣）， ∴拋物線的頂點到直線BC的距離d=|﹣|+2=， ∵h(yuǎn)2＞d， ∴所求P點到直線BC的距離大于拋物線的頂點到直線BC的距離， 從而使△CPB與△ECD相似的點P不會在拋物線上， ∴在直線CB下方不存在拋物線上的點P使△CPB與△ECD相似， 綜上所述，可知在拋物線上不存在點P使點P、B、C為頂點的三角形與△ECD相似。