Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q
（1）求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；
（2）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說(shuō)明你的理由。

Answer 1

解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB，
∴BQ=QM，PM=PC，
∴四邊形AQMP的周長(zhǎng)=AQ=AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；
（2）當(dāng)點(diǎn)M中BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ是菱形，
∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AB∥MP，QM∥AC，
∴QM，PM是三角形ABC的中位線，
∵AB=AC，
∴QM=PM=AB=AC，
又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，
∴平行四邊形APMQ是菱形。