Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形內(nèi)有一點(diǎn)D，∠DAB=40°，∠DBC=30°，求證：AB+AD=CD．

Answer 1

分析 如圖，延長BD交AC于N，作NF⊥BC于F，延長FN交BA的延長線于E，連接EC．先證明△ANE≌△AND，再證明△ACE≌△ACD，由此即可解決問題．

解答 證明：如圖，延長BD交AC于N，作NF⊥BC于F，延長FN交BA的延長線于E，連接EC．

∵∠NBC=∠NCB=30°，
∴BN=NC，
∵NF⊥BC，
∴BF=CF，∠BNF=∠CNF=60°，
∴EB=EC，∠ANE=∠CNF=60°，∠AND=∠NBC+∠NCB=60°，
∴∠ANE=∠AND，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=110°，∵∠BAD=40°，
∴∠CAD=70°，
∵∠EAN=∠ABC+∠ACB=70°，
∴∠NAE=∠NAD，
在△NAE和△NAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠NAE=∠NAD}\\{∠ANE=∠AND}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△AND，
∴AE=AD，
在△ACE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠EAC=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACD，
∴EC=CD=EB，
∴AB+AD=AB+AE=BE=EC=CD，
即AB+AD=CD．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，題目比較難．