Question

如圖，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所對優(yōu)弧上的一個動點，tan∠APB=2，
（1）若△APB為直角三角形，求PB的長；
（2）若△APB為等腰三角形，求△APB的面積．

Answer 1

（1）△APB是直角三角形有兩種情況：
作直徑AP₂、BP_l，連接P_lA、P₂B，
∴P₂B=AB÷tan∠APB=5，
P_lB=AP₂=5

5

，
所以PB的長為5或5

5

；

（2）△APB為等腰三角形時有三種情況：
①PA=PB，
∵∠AOH=∠APB，AB=10
∴OH=

5

2

，∴OP=

5 5

2

，PH=

5+5 5

2

∴S_△APB=

25+25 5

2

；
②BA=BP，
∴∠GAB=∠APB
在⊙O上取一點P₄使BP₄=BA，連接AP₄交P₁B于G
設(shè)AG=k
∵tan∠APB=2
∴BG=2k
由勾股定理得k=2

5

∴S_△APB=40；
③AB=AP與BA=BP情況相同
∴S_△APB=40．