Question

△ABC中AB=12，AC=8，P是BC上一點且BP=2PC，設(shè)Q是△ABC某邊一點，若PQ截得三角形與原三角形相似，面積比為1：4，則AQ的長是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì)

專題：

分析：由于Q是△ABC某邊一點，所以Q可能在AC邊上，也可能在AB邊上．①當Q在AC邊上時，作BG⊥AC于G，PF⊥AC于F．根據(jù)三角形的面積公式得出S_△QPC=

1

2

QC•PF，S_△ABC=

1

2

AC•BG，由

S△QPC

S△ABC

=

1

4

，得出

QC•PF

AC•BG

=

1

4

，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

PF

BG

=

PC

BC

=

1

3

，于是

QC

8

•

1

3

=

1

4

，求出QC=6，那么AQ=AC-QC=8-6=2；②當Q在AB邊上時，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F．根據(jù)三角形的面積公式得出S_△BQP=

1

2

BQ•PE，S_△ABC=

1

2

AB•CF，由

S△BPQ

S△ABC

=

1

4

，得出

BQ•PE

AB•CF

=

1

4

，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

PE

CF

=

BP

BC

=

2

3

，于是

BQ

12

•

2

3

=

1

4

，求出BQ=

9

2

，那么AQ=AB-BQ=12-

9

2

=

15

2

．

解答：解：分兩種情況：
①Q(mào)在AC邊上時，作BG⊥AC于G，PF⊥AC于F．S_△QPC=

1

2

QC•PF，S_△ABC=

1

2

AC•BG，
∵

S△QPC

S△ABC

=

1

4

，
∴

QC•PF

AC•BG

=

1

4

，
∵PF∥BG，
∴

PF

BG

=

PC

BC

=

1

3

，
∴

QC

8

•

1

3

=

1

4

，
∴QC=6，
∴AQ=AC-QC=8-6=2；
②Q在AB邊上時，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F．S_△BQP=

1

2

BQ•PE，S_△ABC=

1

2

AB•CF，
∵

S△BPQ

S△ABC

=

1

4

，
∴

BQ•PE

AB•CF

=

1

4

，
∵PE∥CF，
∴

PE

CF

=

BP

BC

=

2

3

，
∴

BQ

12

•

2

3

=

1

4

，
∴BQ=

9

2

，
∴AQ=AB-BQ=12-

9

2

=

15

2

；
綜上所述，AQ的長為2或

15

2

．

點評：本題考查了三角形的面積，平行線分線段成比例定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．