Question

17．如圖，正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓，BC=2cm．現(xiàn)有兩動點E、F，分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1cm/秒的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2cm/秒的速度向點C運動．當(dāng)點E到達(dá)A點時，E、F同時停止運動，設(shè)點E運動時間為t．
（1）當(dāng)t為何值時，線段EF與BC平行？
（2）設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時，EF與半圓相切？
（3）如圖2，將圖形放在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)1＜t＜2時，設(shè)EF與AC相交于點P，雙曲線$y=\frac{k}{x}（k≠0）$經(jīng)過點P，并且與邊AB交于點H，求出雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出$\frac{BH}{AH}$的值．

Answer 1

分析 （1）線段EF和BC平行時，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）當(dāng)EF與半圓O相切時，根據(jù)切線的性質(zhì)，作輔助線如圖，利用勾股定理和切線長定理就可以求出其t的值．
（3）當(dāng)1≤t＜2時，△AEP∽△CFP，就可以求出點P的位置不會發(fā)生變化AP：PC=AE：CF是個定值為$\frac{1}{2}$，由AB=BC=2，根據(jù)勾股定理求得$AC=2\sqrt{2}$，進而得出CP=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，從而求得P的坐標(biāo)為（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），利用待定系數(shù)法即可求得雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，把x=-2代入雙曲線的關(guān)系式得y=$\frac{8}{9}$，從而求得H的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)即可求得$\frac{BH}{AH}$的值．

解答 解：（1）設(shè)E、F出發(fā)后經(jīng)過t秒時，EF∥BC，
此時BE=t，CF=4-2t，BE=CF，即t=4-2t，
∴$t=\frac{4}{3}$；
（2）如圖，設(shè)E、F出發(fā)后t秒時，EF與半圓相切，過F點作FK∥BC，交AB于K．
則BE=t，CF=4-2t，EK=EB-KB=EB-FC=t-（4-2t）=3t-4．
EF=BE+CF（切線長相等）=4-t
在Rt△EKF中，EF²=EK²+KF²=（4-t）²=（3t-4）²+2²
解得：$t=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$或$t=\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$，
∵1＜t＜2，∴$t=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$．
（3）當(dāng)1＜t＜2時，
如圖：由$\frac{AE}{CF}=\frac{2-t}{4-2t}=\frac{1}{2}$，
∵AB∥DC，
∴△APE∽△CPE  則$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$，
即點P的位置與t的數(shù)值無關(guān)．
∴點P的位置不會發(fā)生變化，AP：PC的值為$\frac{1}{2}$，
∵AB=BC=2，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：2，
∴CP=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
∴P（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），
將P（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$）代入雙曲線解析式$y=\frac{k}{x}$，得$k=-\frac{16}{9}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=-\frac{16}{9x}$，
把x=-2代入得y=$\frac{8}{9}$，
∴H（$-2，\frac{8}{9}$），
∴$\frac{BH}{AH}=\frac{4}{5}$．

點評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，切線的性質(zhì)，切線長定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等，有一定的難度．