Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的頂點(diǎn)為P，將△BOC繞著它的頂點(diǎn)B順時(shí)針在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α，旋轉(zhuǎn)后的圖形為△BO′C′．
①當(dāng)O′C′∥CP時(shí)，求α的大小；
②△BOC在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的△BO′C′有一邊與BP重合時(shí)，求△BO′C′不在BP上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意得，
解得．
所以，此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①如圖，
頂點(diǎn)P為（1，4），CP=，BC=，
BP=，
又因?yàn)镃P²+BC²=PB²，
所以∠PCB=90°．
又因?yàn)镺′C′∥CP，
所以O(shè)′C′⊥BC，
所以點(diǎn)O′在BC上，
所以α=45°．
②如備用圖1，
當(dāng)BC′與BP重合時(shí)，過點(diǎn)O′作O′D⊥OB于D．
因?yàn)椤螾BC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
則△DBO′∽△CBP，
所以，
所以，
所以BD=3O′D．
設(shè)O′D=x，則BD=3x，根據(jù)勾股定理，得x²+（3x）²=3²，
解得，
所以BD=，
所以點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）．
如備用圖2，
當(dāng)BO′與BP重合時(shí)，過點(diǎn)B作x軸的垂線BE，過點(diǎn)C′作C′E⊥BE于E，
因?yàn)椤螾BE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以，
所以，
所以BE=3C′E．
設(shè)C′E為y，則BE=3y，根據(jù)勾股定理，
得，
解得，
所以BE=，
所以C′的坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程，即可求得待定系數(shù)的值，進(jìn)而確定拋物線的解析式．
（2）①根據(jù)（1）題得到的拋物線解析式，易求得B、P的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式可求得CP、BC、BP的長(zhǎng)，通過勾股定理的逆定理可證得△BCP是Rt△，且以C為直角頂點(diǎn)，若O′C′∥CP，那么O′必在線段BC上，所以旋轉(zhuǎn)角即為∠OBC，根據(jù)B、C的坐標(biāo)，易得∠OBC=∠OCB=45°，由此得解．
②此題應(yīng)分兩種情況考慮：
1）BC′與BP重合，此時(shí)O′為所求點(diǎn)．過O′作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，在①中已證得∠CBO=∠C′BO′=45°，這兩個(gè)等角同時(shí)減去∠CBO′后可得到∠PBC=∠O′BD，即可證得△PBC∽△O′BD，根據(jù)PC、BC的比例關(guān)系，可求得O′D、BD的比例關(guān)系，進(jìn)而可由勾股定理和O′B（即OB）的長(zhǎng)求出O′D、BD的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
2）當(dāng)BO′與BP重合時(shí)，C′為所求的點(diǎn)．可過B作直線BE⊥x軸，過C′作C′E⊥BE于E，按照1）的思路，可證△EBC′∽△CBP，同樣能得到C′E、BE的比例關(guān)系，進(jìn)而由勾股定理出這兩條線段的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C′的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、圖象的旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．在（2）②中，能夠通過輔助線正確的構(gòu)建與所求相關(guān)的出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．