Question

18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點，A點的橫坐標為2，AC⊥x軸于點C，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的一點，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點橫坐標代入正比例函數(shù)，可求得A點坐標，代入反比例函數(shù)解析式，可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）由條件可求得B、C的坐標，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等，求得P點坐標．

解答 解：（1）∵A點的橫坐標為2，AC⊥x軸于點C，
∴在正比例函數(shù)y=2x中，當x=2時，y=4
∴A（2，4）
將A（2，4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，可得
4=$\frac{k}{2}$，即k=8
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標為（-2，-4），
∴B到OC的距離為4，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×2×4=8，
∴S_△OPC=8，
設P點坐標為（x，$\frac{8}{x}$），則P到OC的距離為|$\frac{8}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{8}{x}$|×2=8，
解得x=1或-1，
∴P點坐標為（1，8）或（-1，-8）．

點評 本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在解題時注意：選擇OC作為△OCP的底，并根據(jù)面積的大小求得P點到OC的距離是解題的關(guān)鍵．