Question

已知：如圖，⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求證：∠ODE=∠OED．

Answer 1

解：連接OA并延長交BC于點F，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴點O是△ABC的外心，
∵AB=AC，
∴AF是BC的垂直平分線，
∴∠BAF=∠CAF，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在Rt△AOD與Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE，
∴OD=OE，
∴△ODE是等腰三角形，
∴∠ODE=∠OED．
分析：連接OA并延長交BC于點F，根據三角形外心的性質可知AF是BC的垂直平分線，由于AB=AC，故∠BAF=∠CAF，OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，可得出Rt△AOD≌Rt△AOE，進而可得出結論．
點評：本題考查的是三角形外心的性質及等腰三角形的判定與性質，根據題意判斷出△ODE是等腰三角形是解答此題的關鍵．