Question

如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，BC=10，AD與半圓相切于點D，AB交⊙O于點E，DA⊥AB，AD=4
（1）試求BE的長；
（2）求tan∠AED的值；
（3）求證：CD=DE．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）作OH⊥AB于H，連結(jié)OD，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AD，再證明四邊形AHOD為矩形，則OH=AD=4，在Rt△BOH利用勾股定理計算出BH=3，然后根據(jù)垂徑定理可得BE=2BH=6；
（2）由四邊形AHOD為矩形得到AH=OD=5，則AB=BH+AH=8，所以AE=AB-BE=2，然后在Rt△ADE中利用正切的定義求解；
（3）由于OD∥A得∠EBD=∠ODB，加上∠OBD=∠ODB，則∠OBD=∠EBD，然后根據(jù)圓周角定理和圓心角、弧和弦的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：作OH⊥AB于H，連結(jié)OD，如圖，
∵AD與半圓相切于點D，
∴OD⊥AD，
而BA⊥AD，
∴四邊形AHOD為矩形，
∴OH=AD=4，
在Rt△BOH，OB=5，OH=4，
∴BH=

OB2-OH2

=3，
∵OH⊥BE，
∴BH=EH，
∴BE=2BH=6；
（2）解：∵四邊形AHOD為矩形，
∴AH=OD=5，
∴AB=BH+AH=8，
∴AE=AB-BE=2，
在Rt△ADE中，tan∠AED=

AE

AD

=

2

4

=

1

2

；
（3）證明：∵OD∥AB，
∴∠EBD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD=∠EBD，
∴

DE

=

CD

，
∴CD=DE．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理和勾股定理．