Question

5．通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）思路梳理
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F、D、G共線，易證△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為BE+FD=EF．
（2）類(lèi)比引申
如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，∠EAF=45°．連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，EC=2，則DE的長(zhǎng)為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE．
∴EF=FG．
∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF．
故答案為：△AFE；BE+FD=EF．
（2）DF=EF+BE．
理由：如圖2所示．

∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上．
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF．
∴EF=FG．
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE．
（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
則在△ADF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠FAD=∠DAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE．
∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°．
∴∠BDF=90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD²+BF²=DF²．
∴BD²+CE²=DE²．
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．