Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=3，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG²+FH²=

 

．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：連接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，得到EH，EF，FG，GH分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，根據三角形中位線定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=3，得到EH=EF=GH=FG=

3

2

，根據四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據菱形的性質得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根據勾股定理得到OE²+OH²=EH²=

9

4

，再根據等式的性質，在等式的兩邊同時乘以4，根據4=2²，把等式進行變形，并把EG=2OE，FH=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG²+FH²的值

解答：解：如右圖，連接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分別是AB、DA的中點，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH=

1

2

BD=

3

2

，
同理可得EF，FG，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，
∴EF=GH=

1

2

AC=

3

2

，FG=

1

2

BD=

3

2

，
∴EH=EF=GH=FG=

3

2

，
∴四邊形EFGH為菱形，
∴EG⊥HF，且垂足為O，
∴EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根據勾股定理得：OE²+OH²=EH²=

9

4

，
等式兩邊同時乘以4得：4OE²+4OH²=

9

4

×4=9，
∴（2OE）²+（2OH）²=9，
即EG²+FH²=9．
故答案為：9．

點評：此題考查了菱形的判定與性質，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質，本題的關鍵是連接EF，FG，GH，EH，得到四邊形EFGH為菱形，根據菱形的性質得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題．