Question

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D ,連接AE.
(1)求證：AE平分∠CAB;
(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關系，并求當AE=EC時tanC的值.

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；
（2）解：2∠1+∠C=90 °，tanC=
∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠1+∠AEO=∠EOC，
∵∠1=∠AEO，∠OEC=90 °，
∴2∠1+∠C=90 °，
當AE=CE時，∠1=∠C，
∵2∠1+∠C=90 °
∴3∠C=90 °，∠C=30 °
∴tanC=tan30 °=