Question

13．如圖，在⊙O中，AB為直徑，D、E為圓上兩點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，且∠E+∠C=90°．
（1）求證：BC為⊙O的切線．
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A=∠E，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根據(jù)切線的定義證明即可；
（2）根據(jù)∠A的正弦求出AC，利用勾股定理列式計(jì)算求出AB，然后求解即可．

解答 （1）證明：∵∠A與∠E所對(duì)的弧都是$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠E，
又∵∠E+∠C=90°，
∴∠A+∠C=90°，
在△ABC中，∠ABC=180°-90°=90°，
∵AB為直徑，
∴BC為⊙O的切線；

（2）解：∵sinA=$\frac{3}{5}$，BC=6，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{6}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
解得AC=10，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AB為直徑，
∴⊙O的半徑是$\frac{1}{2}$×8=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，銳角三角函數(shù)，解直角三角形，勾股定理，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，熟記切線的概念并求出直角是解題的關(guān)鍵．