Question

6．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB=120°，∠ADC=90°，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE，連接DE．
（1）求證：AD=DE；
（2）求∠DCE的度數(shù)；
（3）若BD=1，求AD，CD的長．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)先判斷出△ADE是等邊三角形即可；
（2）利用四邊形的內(nèi)角和即可求出結(jié)論；
（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，
∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∵△ABC為等邊三角形
∴∠BAC=60°
∴∠DAE=60°
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD=DE，
（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°
∴∠DCE=360°-∠ADC-∠AEC-∠DAE=90°，
（3）∵△ADE為等邊三角形
∴∠ADE=60°
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°
又∵∠DCE=90°
∴DE=2CE=2BD=2，
∴AD=DE=2
在Rt△DCE中，$DC=\sqrt{D{E^2}-C{E^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADE是等邊三角形．