Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，l是過點A的直線，BD⊥直線l于點D，CE⊥直線l于點E
（1）若點B，C在直線l的同側（如圖1所示），且AD=CE．求證：AB⊥AC；
（2）若點B，C在直線l的兩側（如圖2所示），其他條件不變，（1）中結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC；
（2）結論仍然成立，證明方法類似．

解答 （1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

（2）解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質和判定等知識，證明三角形全等是解決問題的關鍵．