Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E；
（1）求證：BE=CE；
（2）若以O(shè)、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，⊙O的半徑為r，求△ABC的面積；
（3）若EC=4，BD=4

3

，求⊙O的半徑OC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接CD，由AC是直徑知CD⊥AB；
DE、CE都是切線，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，從而BE=CE；

（2）連接OD，


當(dāng)以O(shè)、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，DE=EC=OC=OD=r；
從而BE=r，即△ABC是一個(gè)等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S_△ABC=2r²；

（3）若EC=4，BD=4

3

，則BC=8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD=

BD

BC

=

3

2

；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，

AC

BC

=tan30°，即AC=BCtan30°=8×

3

3

=

8 3

3

，OC=

AC

2

=

4 3

3

；
另設(shè)OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4

3

得BC=8，DC=4；
則：

16+x2=4r2 64+4r2=(4 3 +x)2

，解得

x= 4 3 3 r= 4 3 3

；即OC=

4 3

3

．