Question

如圖，直線y=

1

2

x+2分別與x軸、y軸相交于A、B，與雙曲線y=

k

x

（其中x＞0）相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（2，y₀），作PC⊥x軸于C．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）觀察圖象直接寫出不等式

1

2

x+2＞

k

x

的解集；
（3）在（1）中所求的雙曲線上是否存在點(diǎn)Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x軸于H，使得△QCH與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)P（2，y₀）代入直線y=

1

2

x+2求出y₀的值，再代入反比例函數(shù)y=

k

x

求出k的值即可；
（2）直接根據(jù)函數(shù)的圖象即可得出不等式的解集；
（3）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)△QCH∽△AOB即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（2，y₀）在直線y=

1

2

x+2上，
∴y₀=

1

2

×2+2=3，
∴點(diǎn)P（2，3），
∴3=

k

2

，
解得k=6，
∴雙曲線的解析式為y=

6

x

（x＞0）；

（2）∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＞2時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式

1

2

x+2＞

k

x

的解集為：x＞2；

（3）∵A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵Q（m，n）在雙曲線y=

6

x

（x＞0）上，
∴n=

6

m

，
當(dāng)△AOB∽△CHQ時(shí)，

AO

CH

=

OB

HQ

，即

4

m-2

=

2

6 m

，解得m=1+

13

或
m=1-

13

（舍去），
∴Q（1+

13

，

13 -1

2

）；
當(dāng)△AOB∽△QHC時(shí)，

AO

QH

=

OB

CH

，即

4

6 m

=

2

2-m

，即m²-2m+3=0，
∵△＜0，
∴此種情況不存在．
∴Q（1+

13

，

13 -1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．