Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于M、N兩點(diǎn)，與x軸分別交于點(diǎn)P（2，0），且PN=5．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求△OMN的面積；
（3）根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍．（不要求寫出過程）

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到（2+1）²+n²=5²，解方程得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)三角形面積公式和S_△OMN=S_△OPN+S_△OPM進(jìn)行計(jì)算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-1或0＜x＜3時(shí)，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)圖象上方．

解答：解：（1）∵P（2，0），N（-1，n），
∴（2+1）²+n²=5²，解得n₁=-4，n₂=4（舍去），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），
把N（-1，-4）代入y=

k

x

得k=-1×（-4）=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

；
把M（3，m）代入y=

4

x

得3m=4，解得m=

4

3

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

4

3

），
把M（3，

4

3

），N（-1，-4）代入y=ax+b得

3a+b= 4 3 -a+b=-4

，
解得

a= 4 3 b=- 8 3

，
∴一次函數(shù)解析式為y=

4

3

x-

8

3

；
（2）S_△OMN=S_△OPN+S_△OPM
=

1

2

×2×4+

1

2

×2×

4

3

=

16

3

；
（3）當(dāng)x＜-1或0＜x＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．