Question

已知拋物線y=ax²+bx+c開口向下，并且經(jīng)過A（0，1）和M（2，-3）兩點．
（1）若拋物線的對稱軸為直線x=-1，求此拋物線的解析式；
（2）如果拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，試求a的取值范圍；
（3）如果拋物線與x軸交于B、C兩點，且∠BAC=90°，求此時a的值．

Answer 1

將A、M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中有：

c=1 4a+2b+c=-3

，
解得：

b=-2-2a c=1

∴拋物線的解析式為y=ax²-（2+2a）x+1．
（1）∵x=-

-(2+2a)

2a

=-1，
∴

1+a

a

=-1，
解得a=-

1

2

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-x+1．
（2）由題意知：x=-

-(2+2a)

2a

＜0，即

1+a

a

＜0；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），x₁＜x₂；
∵x₁x₂=

1

a

，且a＜0．
∴x₁x₂＜0，即B在x軸負(fù)半軸，C在x軸正半軸；
∴OB=-x₁，OC=x₂．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根據(jù)射影定理可得：
OA²=OB•OC=-x₁•x₂=1，即-

1

a

=1，a=-1．