Question

4．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，G為AB上一點(diǎn)，過G作弦CE⊥AB，在$\widehat{BC}$上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F、M，分別連結(jié)OE，CO，CM．
（1）若G為OA的中點(diǎn)．
①∠COA=60°，∠FDM=120°；
②求證：FD•OM=DM•CO．
（2）如圖，若G為半徑OB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），過G作弦CE⊥AB，點(diǎn)D在$\widehat{BC}$上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，分別連結(jié)OE，CO，CM．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②此時(shí)仍有FD•OM=DM•CO成立．請(qǐng)寫出證明FD•OM=DM•CO的思路．（不寫出證明過程）

Answer 1

分析 （1）①由于CG⊥OA，根據(jù)垂徑定理可得出，弧CA=弧AE，那么根據(jù)圓周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根據(jù)OG是半徑的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°；②由直徑AB⊥CE，根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到MC=ME，則∠CMA=∠EMA，∠FMD=∠CMA，然后根據(jù)相似三角形的想盡快得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意作出圖形即可；②可按（1）的方法得出∠DMF=∠CMO，關(guān)鍵是再找出一組對(duì)應(yīng)角相等，還是用垂徑定理來求，根據(jù)垂徑定理我們可得出弧AC=弧AE，那么∠AOC=∠EDC，根據(jù)等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可證出兩三角形相似．

解答 解：（1）①∵OA、OC都是⊙O的半徑，且G為OA的中點(diǎn)，
∴在Rt△OCG中，cos∠COG=$\frac{1}{2}$，
∴∠COG=60°，即∠COA=60°；
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{CE}$，
∴∠EDC=∠COA=60°，
∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；
故答案為：60，120；
②∵直徑AB⊥CE，
∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，
∴MC=ME，
∴∠CMA=∠EMA，
又∵∠FMD=∠EMA，
∴∠FMD=∠CMA，
∵∠FDM=∠COM=120°，
∴△FDM∽△COM，
∴$\frac{DF}{OC}=\frac{DM}{OM}$，
∴FD•OM=DM•CO；

（2）①如圖所示；
②結(jié)論仍成立．
∵∠EDC的度數(shù)=$\frac{1}{2}$$\widehat{CAE}$的度數(shù)=$\widehat{AC}$的度數(shù)=∠COA的度數(shù)，
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM，
∵AB為直徑，
∴CE⊥AB，
在Rt△CGM和Rt△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{GM=GN}\\{∠CGM=∠GM}\\{CG=EG}\end{array}\right.$
∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME，
∵∠FMD=∠EMG，
∴∠FMD=∠CMG，
∴△FDM∽△COM，
∴$\frac{DF}{OC}=\frac{DM}{OM}$，
∴FD•OM=DM•CO．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出角相等是解題的關(guān)鍵．