Question

（2013•懷柔區(qū)二模）已知如圖：在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)．連結(jié)AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10．
（1）求AS的長(zhǎng)度；
（2）求OR的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AT⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線交于T，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=AD=4，∠ABT=60°，所以根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到BT=2，AT=2

3

，則TS=TB+BS=12，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AS=2

39

；
（2）由AD∥BS得到△AOD∽△SOB，利用三角形相似比得到

AO

SO

=

2

5

，然后根據(jù)性質(zhì)可得到SO=

10 39

7

，利用同樣的方法可計(jì)算出RS=

6 39

5

，然后利用OR=OS-RS進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）過(guò)A作AT⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線交于T，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=4，∠ABT=60°，
∴BT=

1

2

AB=2，AT=

3

BT=2

3

，
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
∴AS=

AT2+TS2

=2

39

；

（2）∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB，
∴

AO

SO

=

AD

BS

，即

AO

SO

=

4

10

=

2

5

，
∴

AO+OS

SO

=

2+5

5

，
∴SO=

5

7

AS=

10 39

7

∵AD∥CS，
∴△ARD∽△SRC，
∴

AD

CS

=

AR

RS

，即

AR

SR

=

4

6

=

2

3

，
∴

AS-SR

RS

=

2

3

，
∴

AS

RS

=

5

3

，
∴RS=

3

5

AS=

6 39

5

，
∴OR=OS-RS=

10 39

7

-

6 39

5

=

8 39

35

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形第三邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了菱形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及比例性質(zhì)．