Question

11．【原題】
如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD+BC=AB，試探究在AB上是否存在一點E，使得DE=CE，DE⊥CE．
【嘗試探究】
在AB上截取AE=BC，連接DE，CE，如圖2所示，利用SAS可將△DAE≌△EBC，由此可得DE=CE，∠ADE=∠CEB，由∠ADE+∠AED=90°，進而可得DE⊥CE．
【類比延伸】
若將圖1中的條件∠A=∠B=90°改成∠A=∠B＞90°，形成新的四邊形ABCD，如圖3所示，試探究在AB上是否仍存在一點E，使得DE=CE，∠DEC=∠B．
【拓展與應用】
如圖4，五邊形ABCDE滿足AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°，試判斷△ACD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 嘗試探究：根據已知條件判斷即可；
類比延伸：輔助線與（1）類似，仍用SAS證明△DAE≌△EBC即可；
拓展與應用：在CD上截取CF=DE，證明△BCF≌△FDE，△ABF≌△AEF，△ABC≌△AFD即可．

解答 解：嘗試探究：如圖2．在AB上截取AE=BC，連接DE，CE，

∵AB=AD+BC，AE=BC，AB=AE+BE，
∴AD=BE，
在△DAE和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EB}\\{∠A=∠B}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴DE=CE，∠ADE=∠CEB，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CEB+∠AEB=90°
∴DE⊥CE．
故答案為：SAS，=．
類比延伸：如圖3，在AB上截取AE=BC，連接DE，CE，

∵AB=AD+BC，AE=BC，AB=AE+BE，
∴AD=BE，
在△DAE和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EB}\\{∠A=∠B}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴DE=CE，∠AED=∠ECB，
∵∠AEC=∠DEC+∠AED，∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠B=∠DEC．
拓展與應用：
△ACD是等邊三角形，
理由：如圖4，在CD上截取CF=DE，連接AF，BF，EF，

∵BC+DE=CD，CF+DF=CD，
∴BC=DF，
在△BCF和△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=FD}\\{∠BCF=∠FDE}\\{CF=DE}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△FDE，
∴BF=FE，∠CBF=∠DFE，
∵∠CBF+∠BFC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠EFD+∠BCF=60°，
∴∠BFE=180°-（∠EFD+∠BCF）=120°，
在△ABF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{BF=FE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△AEF，
∴∠BAF=∠EAF，∠BFA=∠EFA，
∵∠BAE=120°，∠BFE=120°
∴∠BAF=∠EAF=60°，∠BFA=∠EFA=60°，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AB=AF，∠ABF=60°，
∴∠ABF+∠CBF=∠AFE+∠CFE，
即∠ABC=∠AFD，
在△ABC和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠ABC=∠AFD}\\{BC=DF}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△AFD，
∴AC=AD，∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC+∠CAF=∠FAD+∠CAF=∠BAF=60°，
∴△ACD是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、等邊三角形的判定定理，解決本題的關鍵是作出輔助線，構建全等三角形．