Question

已知拋物線y=x²-2x-3經過A、B、C三點，點P（1，k）在直線BC：y=x-3上，若點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以點A、M、N、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：利用拋物線解析式求出點A、B的坐標，再把點P的坐標代入直線求出k值，設點M的坐標為（a，0），根據平行四邊形的對邊平行且相等分點N在點M的右邊和左邊兩種情況表示出點N的坐標，然后代入拋物線解析式求出a的值，即可得解．

解答：解：令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，A（-1，0），B（3，0），
∵點P（1，k）在y=x-3上，
∴k=1-3=-2，
∴點P（1，-2），
設點M的坐標為（a，0），若點N在點M的右邊，則N（a+2，-2），
代入拋物線得，（a+2）²-2（a+2）-3=-2，
a₁=-1-

2

，a₂=-1+

2

，
此時，點M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），
若點N在點M的左邊，則點N（a-2，2），
代入拋物線得，（a-2）²-2（a-2）-3=2，
a₁=3-

6

，a₂=3+

6

，
此時，點M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），
綜上所述，存在點M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），使以點A、M、N、P為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點問題，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，根據平行四邊形的性質用點M的坐標表示出點N的坐標是解題的關鍵，難點在于分情況討論．