Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A和點B分別在x軸的正、負半軸上），cot∠OCA=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線l與拋物線交于點E、F（點F在點E的左邊），如果四邊形OBFE是平行四邊形，求點E的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，得C（0，3）
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∵
∴OA=1，
∴A（1，0）
∵點A在拋物線y=ax²+2ax+3上，
∴a+2a+3=0
解得a=-1
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3

（2）∵拋物線y=-x²-2x+3的對稱軸是直線x=-1
又A（1，0）
∴點B（-3，0）
∵四邊形OBFE是平行四邊形
∴EF=OB=3，
∴點E的橫坐標為．
設點
∴
∴點
分析：（1）由于拋物線y=ax²+2ax+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A和點B分別在x軸的正、負半軸上），cot∠OCA=3．由此可以得C（0，3，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，由于由此可以求出OA，然后求出A的坐標，最后把點A坐標代入解析式即可確定拋物線的解析式；
（2）根據拋物線y=-x²-2x+3可以得到其對稱軸是直線x=-1，又A（1，0），由此求出點B（-3，0），又四邊形OBFE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到EF=OB，由此可以求出點E的橫坐標，然后設點代入解析式中即可求出y，也就求出E的坐標．
點評：此題是二次函數的綜合題，分別考查了待定系數法確定函拋物線的解析式、解直角三角形、拋物線的性質及平行四邊形的性質，解題時首先讀懂題意，然后正確把握題目的數量關系才能很好解決題目的問題．