Question

3．如圖，己知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，頂點為F．
（1）求拋物線的解析式及頂點F的坐標．
（2）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合）試探究：使得以A、B、M為頂點的三解形面積與△ABC的面積相等．求所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先連接CE，由以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A、B兩點，可求得A，B的坐標，然后由勾股定理求得OC的長，即求得點C的坐標，然后利用交點式，求得拋物線的解析式，繼而求得頂點F的坐標．
（2）由以A、B、M為頂點的三解形面積與△ABC的面積相等，可求得點M的縱坐標為±4，繼而求得答案．

解答 解：（1）連接CE，
∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A、B兩點，
∴OE=3，AE=BE=5，AE=BE=CE=5，
∴OA=AE-OE=2，OB=OE+BE=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
在Rt△COE中，OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
∴點C的坐標為：（0，-4），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-8），
把點C（0，-4）代入得：-16a=-4，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴頂點F的坐標為：（3，-$\frac{25}{4}$）；

（2）解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC，S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•|y_M|，S_△ABC=S_△ABM，
∴|y_M|=4，
即y_M=±4，
若y_M=-4時，$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$=-4，解得：x_M=0或6，
又∵x_M≠0，
∴M（6，-4）；
若y_M=4時，$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$=4，解得：x_M=3±$\sqrt{41}$，
即M（3+$\sqrt{41}$，4）或M（3-$\sqrt{41}$，4），
綜上所述，M點的坐標為（6，-4）或（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4）．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式、垂徑定理以及三角形面積問題．注意準確作出輔助線，求得點C的坐標是解此題的關(guān)鍵．