Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-過點(diǎn)A（-1，0）、B（5，0）．直線y=-x-1交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P為線段AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN∥QM交拋物線的對稱軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求a、b的值．
（2）用含m的代數(shù)式表示PQ的長并求PQ的最大值．
（3）直接寫出PQ隨m的增大而減小時m的取值范圍．
（4）當(dāng)四邊形PQMN是正方形時，求出m的值．

Answer 1

解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax²+bx-中，得
，
解得：，
∴a=，b=-2；

（2）由（1）可知a=，b=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P的坐標(biāo)為（m，-m-1），（-1≤m≤2），
∵PQ∥y軸，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-），
∴PQ=-m-1-（m²-2m-）=-m²+m+=-（m-1）²+2，
∴當(dāng)m=1時，PQ的最大值為2；

（3）由（2）可知PQ=-m-1-（m²-2m-）=-m²+m+=-（m-1）²+2，
∴PQ隨m的增大而減小時m的取值范圍是1≤m≤2；
（4）設(shè)MN于x軸的 交點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為（2，0），
∵M(jìn)（2，-3），
∴MG=3，AG=3，
∴MG=AG，
∴∠BAM=∠AMG=45°，
∵PQ∥y軸，MN是對稱軸，
∴PQ∥MN，
有∵PN∥QM，
∴四邊形PQMN是平行四邊形，
當(dāng)PN⊥MN，四邊形PQMN是矩形，又∵∠BAM=45°，
∴四邊形PQMN是正方形，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3，即m²-2m-=-3，
解得：m₁=2-，m₂=2+（不合題意舍去），
∴m的值是2-．
分析：（1）把點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，計算即可求出a、b的值；
（2）根據(jù)已知條件可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，-m-1），（-1≤m≤2），因為PQ∥y軸，所以點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，又因為Q在拋物線上，所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-），所以
PQ=-m-1-（m²-2m-）=-m²+m+=-（m-1）²+2，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值；
（3）根據(jù)線段PQ的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，利用二次函數(shù)的增減性解答即可；
（4）設(shè)MN于x軸的 交點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為（2，0），首先證明四邊形PQMN是平行四邊形，當(dāng)PN⊥MN，四邊形PQMN是矩形，又因為∠BAM=45°，所以四邊形PQMN是正方形，再求出Q的縱坐標(biāo)為-3，即m²-2m-=-3，解方程即可求出符合題意的m值．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c的值是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．