Question

如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形．

Ⅰ．若點C在ED的延長線上，點A在邊GD上，求證：CG⊥AE；
Ⅱ．以Ⅰ的圖形為基礎(chǔ)，若以D為旋轉(zhuǎn)中心，將正方形ABCD按逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到下面的圖形，認真觀察這個圖形，猜想AE與CG有怎樣的位置關(guān)系？有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

Answer 1

解：Ⅰ．由題意得AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°
∴根據(jù)SAS可證△EAD≌△GCD；
延長EA交CG于H，由Ⅰ．
得∠CGD+∠GAH=∠CGD+∠EAD=∠CGD+∠GCD=90°
∴AE⊥CG；

Ⅱ．猜想：AE=CG；AE⊥CG．
由題意得CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG
∴△EAD≌△GCD
∴AE=CG，∠CGD=∠AED
∵∠AED+∠EOD=90°，
∴∠CGD+∠EOD=90°，
∵∠EOD=∠GOH，
∴∠CGO+∠GOH=∠CGO+∠EOD=∠AED+∠EOD=90°，
∴AE⊥CG．
因為ABCD，DEFG都是正方形
所以AD=CD，DE=DG，∠ADC=EDG=90°
所以∠ADC+∠CDE=EDG+∠CDE
即∠ADE=∠CDG
所以△ADE≌△CDG（邊角邊相等）
所以AE=CG．
分析：Ⅰ．AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°根據(jù)SAS可證△EAD≌△GCD，進而AE=CG．
延長EA交CG于H，可得∠CGD+∠GAH=90°，即AE⊥CG．
Ⅱ．CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG，可證△EAD≌△GCD，于是可得AE=CG，垂直的證明可參看Ⅰ．
點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及垂直的判定，關(guān)鍵在于找三角形全等的條件，注意運用自己已證明的結(jié)論．