Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，AD＜BC，BC=6，AB=DC=4，點E是AB的中點，點P為邊BC上的一個動點（點P與點B、C不重合）．
（1）如圖1，當(dāng)BP=2時，求證：△BEP∽△CPD；
（2）設(shè)PF交直線CD于點F，交直線AD于點M，∠EPF=∠C．
①如圖2，當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）；
②當(dāng)S_△BEP：S_△DMF=4：9，時，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）欲證△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根據(jù)相似三角形的判斷兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似，證明兩組對應(yīng)邊的比相等即可；
（2）①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，通過證明△BEP∽△CPF，得出比例關(guān)系即可；
②求BP的長，分為兩種情況：當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，證明△BEP∽△DMF，根據(jù)S_△BEP：S_△DMF=4：9，得到相似比，結(jié)合y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4（2＜x＜4）求解即可，當(dāng)點F在線段CD上時，同前，求得當(dāng)S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP時，BP的長為1．

解答 （1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CD}$，
∴△BEP∽△CPD．

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BEP∽△CPF，
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CF}$．
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{y+4}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4．

②當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF，
∵S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP，
∴$\frac{DF}{BP}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{y}{x}$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程無實數(shù)根．
故當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，不存在點P使S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP；
當(dāng)點F在線段CD上時，同理△BEP∽△DMF，
∵S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP，
∴$\frac{DF}{BP}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{y}{x}$，
∵△BEP∽△CPF，
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CF}$，
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-3x+4，
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．
由于x₂=8不合題意舍去．
∴x=1，即BP=1．
∴當(dāng)S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP時，BP的長為1．

點評 本題考查相似三角形綜合題、等腰梯形的性質(zhì)、三角形的面積、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．