Question

如圖1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①證明DM=DN；②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；
（2）繼續(xù)旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）繼續(xù)旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出寫出結論，不用證明．

Answer 1

解：（1）①如圖1，連接DB， 在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC， ∴DB=DC=AD，∠BDC=90°， ∴∠ABD=∠C=45°， ∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°， ∴∠MDB=∠NDC， ∴△BMD△CND， ∴DM=DN； ②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化； 由①知△BMD△CND， ∴S△BMD=S△CND， ∴S四邊形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC =S△DBC=S△ABC=×=； （2）DM=DN仍然成立； 證明：如圖2，連接DB， 在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC， ∴DB=DC，∠BDC=90°， ∴∠DCB=∠DBC=45°， ∴∠DBM=∠DCN=135°， ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°， ∴∠CDN=∠BDM， ∴△BMD△CND， ∴DM=DN； （3）DM=DN．