Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，AC與BD交于點E，過點E作FG∥AB，且分別交AD、BC于點F、G．問：以B為圓心，為半徑的圓與直線AC、FG、DC的位置關系如何？

Answer 1

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，
∵FG∥AB，
∴BG=GC=BC=a，AF=DF=a，∠EGB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：2AE²=a²，
AE=a=BE，
∵BE=a，BE⊥AC，∴以B為圓心，為半徑的圓與直線AC的位置關系是相切；
∵BG=a＜a，BG⊥FG，
∴以B為圓心，為半徑的圓與直線FG的位置關系是相交；
∵BC=a，BC⊥CD，
∴以B為圓心，為半徑的圓與直線DC的位置關系是相離．
分析：根據(jù)正方形性質(zhì)得出EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，求出BG=GC=BC=a，AF=DF=a，∠EGB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理求出AE，再根據(jù)直線與圓的位置關系判斷即可．
點評：本題考查了直線與圓的位置關系，正方形性質(zhì)的應用，注意：已知圓的半徑是R，圓心到直線l的距離是d，當r=d時，直線l與圓相切，當r＜d時，直線l與圓相離，當r＞d時，直線l與圓相交．