Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x。
（1）當x的值為 _________ 時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（2）當x的值為 _________ 時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=，∠C=45°，
∴DN=CN=CD·sin∠C=4×=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DPB=90°，
當∠APC=90°時，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當∠DPB=90°時，
∴P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當x的值為3或8時，
以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，
那么AD=PE，有兩種情況：
①當P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當P在E的右邊，BP=BE+PE=6+5=11；
故當x的值為1或11時，
以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）由（2）知，當BP'=11時，
以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，
∵CD=，∠C=45°，
則DN=CN=4，
∴NP'=BP'-BN=BP'-（BC-CN）=11-12+4=3,
∴DP'===5，
∴EP'=DP'，
故此時□P'DAE是菱形.
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形。