Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)（P與C在直線AB異側(cè)），且∠APB=45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：PA=2CD；
（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接PE、CE，試判定線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AP與AF的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得AF與CD的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠ACM=∠BCM=45°，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得△CIN∽△EIB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)邊的比相等，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得NA=NB，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC=CE，

解答：證明：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP于點(diǎn)F，
∵∠BPA=45°，
∴∠FAP=∠FPA=45°，
∴

AP

AF

=

2

，
∴AP=

2

AF．
∵∠ABF=∠BAP+∠P=∠BAP+45°，
又∵∠CAD=∠BAP+∠CAB=∠BAP+45°
∴∠CAD=∠FBA．
又∵∠ADC=∠AFB=90°
∴△CAD∽△ABF
∴

AF

CD

=

AB

AC

=

2

∴AF=

2

CD
∴AP=

2

AF=2CD；
（2）作CM⊥AB于點(diǎn)M，交AE于點(diǎn)N，連接BN，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACM=∠BCM=45°，AB=

2

AC，
∵∠BAP=45°
又∵點(diǎn)P、點(diǎn)E關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)
∴∠APB=∠AEB=45°，
∴∠BCM=∠AEB=45°．
又∵∠CIN=∠EIB
∴△CIN∽△EIB
∴

CI

EI

=

NI

BI

，
∴

CI

NI

=

EI

BI

，
又∵∠CIE=∠NIB
∴△NIB∽△CIE
∴∠CEI=∠IBN
∵CM⊥AB，AM=MB，相似三角形的判定與性質(zhì)，
∴NA=NB，
∴∠NAB=∠NBA，
∴∠CAN=∠CBN，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CA=CE．
又∵AB=

2

AC，
∴AB=

2

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．