Question

已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）。
①直接寫出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值；
（2）當(dāng)k=-時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2）。
①求CD的長(zhǎng)；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）； ②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）， 分兩種情況討論： 情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°， ∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA， ∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP， 即3-t=t， ∴t=1.5； 情形二：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°， ∵OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形， ∵CP⊥OA， ∴AQ=2CP， 即t=2（-t+3）， ∴t=2， ∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；
（2）①由題意得：C（t，-） ∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=， 由， 解得， 過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E， 則∠DEC=∠AOB=90°， ∵DE∥OA， ∴∠EDC=∠OAB， ∴△DEC∽△AOB ∴ ∵AO=4，AB=5，DE= ∴CD=； ②∵， CD邊上的高=， ∴， ∴S△COD為定值， 要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短， 因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短， 此時(shí)OC的長(zhǎng)為，∠BCO=90° ∵∠AOB=90° ∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA 又∵CP⊥OA ∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB ∴，OP=， 即t= ∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大。