Question

在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的長(zhǎng)分別為m，n，且DE·cosD=cotE。
（1）求證：m² =n；
（2）若m=2，拋物線(xiàn)y=a（x-m）²+n與直線(xiàn)y=3x+4交于A（x₁，y₁）和 B （x₂， y₂）兩點(diǎn)，且△AOB的面積為6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求a的值；
（3）若是k²=，c+l-b=0，拋物線(xiàn)y=k（x²+bx+c）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，試判斷拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸還是負(fù)半軸，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）由DE·cosD=cotE，有DE·，
∴CD²=CE，
∴m²=n；
 （2）解，得ax²-（4a+3）x+4a=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=4，
∴|x₁-x₂|===
∴|AB|=，
又直線(xiàn)y=3x+4與y軸交于M（0，4），與x軸交于N，
設(shè)OH=h垂直于MN，則h=，
∵
∴a=3或a=；
 （3）∵k²=，c+l-b=0，
∴k²=，c+1-b=0，c=b-1，
拋物線(xiàn)y=k（x²+bx+c）可化為y=x²+bx+b-1，
∵拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，在原點(diǎn)的右側(cè)，
∴△=b²-4（b-1）=b²-4b-4=0，即b-1=＞0，
令x=0，則y=b-1=＞0，
故拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸。