Question

【題目】在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BD交CA延長線于點E．

（1）求證：ED2=EAEC；

（2）若ED=6，BD=CD=3，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）根據EF是BD的垂直平分線，可得EB=ED，再證明△EAB∽△EBC，列比例式為，將EB與ED替換可得結論；

（2）根據△EAB∽△EBC，得，代入可得EA=4，作高線AG、DH，根據勾股定理求EF=，利用面積法可得DH的長，再用平行相似得：△AGE∽△DHE，列比例式得AG的長，從而得EG的長，根據勾股定理得BC的長．

詳解：（1）證明：∵EF是BD的垂直平分線，

∴EB=ED，

∴∠EDB=∠EBD，

∵∠EDB=∠C+∠DBC，∠EBD=∠ABE+∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠ABE，

∵∠BEC=∠BEA，

∴△EAB∽△EBC，

∴，

∴EB2=EAEC，

∵EB=ED，

∴ED2=EAEC；

（2）∵ED=EB=6，BD=CD=3，

∴EC=6+3=9，

由（1）知：△EAB∽△EBC，

∴，

∴，EA=4，

過A作AG⊥EB于G，過D作DH⊥EB于H，

Rt△EFD中，ED=6，DF=，

∴EF=，

∴S△EBD=EBDH=BDEF，

∴DH=EF=，

∵AG∥DH，

∴△AGE∽△DHE，

∴，

∴，，

由勾股定理得：EG=，

∴BG=6﹣=，

由勾股定理得：AB= ，

∵△EAB∽△EBC，

∴，

∴，

∴BC=．