Question

已知，AC和BD為⊙O的兩條弦，并且AB²+CD²=4R²，其中R為⊙O的半徑．求證：AC⊥BD．

Answer 1

【答案】分析：作直徑AE，連BE，CE，得到∠ABE=90°，根據(jù)勾股定理得AB²+BE²=AE²=4R²，而AB²+CD²=4R²，得到BE=CD，弧BE=弧CD，得到
BD∥EC，而∠ECA=90°，即可得到結(jié)論．
解答：證明：作直徑AE，連BE，CE，如圖，
∴∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²=4R²，
又∵AB²+CD²=4R²，
∴BE=CD，
∴弧BE=弧CD，
∴BD∥EC，
而∠ECA=90°，
∴AC⊥BD．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了勾股定理．