Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B=60°．
（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　　　
（2）取邊AB的中點E，連接DE．求證：四邊形DEBC是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵AD=CD（已知），
∴∠DCA=∠DAC（等邊對等角）；
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAC=∠CAB（角平分線的性質(zhì)），
∴∠DCA=∠CAB（等量代換），
∴DC∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠CAB=30°（直角三角形的兩個銳角互余），
∴∠DAC=30°，
∴∠DAB=30°+30°=60°=∠B，
∴AD=BC（等角對等邊）；
∵∠B+∠DAB=60°+60°=120°≠180°
∴AD與BC不平行，…
∴四邊形ABCD是等腰梯形． …

（2）由（1）知AD=CD，BC=AD，
∴BC=CD（等量代換）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°
∴（直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半）；
∴CD=BE（等量代換），
∵DC∥AB（梯形的性質(zhì)），
∴四邊形DEBC是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
∵BC=CD，
∴四邊形DEBC是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)利用等量代換可以推知內(nèi)錯角∠DCA=∠CAB，利用平行線的判定定理可以證得CD∥AB；然后由直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形 判定定理知AD=BC；最后由等腰梯形的判定定理證得結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的判定定理（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）知，欲證四邊形DEBC是菱形，首先證明四邊形DEBC是平行四邊形，然后結(jié)合（1）知鄰邊CD=BC．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的判定．學(xué)生在證明四邊形為等腰梯形時，常直接找所需條件：同一底上的兩底角相等或兩條腰相等，而常忽略-關(guān)鍵要素：已經(jīng)證明該四邊形為梯形了嗎？